常见导数
| P1 | P2 |
|---|---|
| $(tan\ x)'=sec^2x$ | $(cot\ x)'=-csc^2x$ |
| $(sec\ x)'=sec \ x \cdot tan \ x$ | $(csc \ x)'=-csc \ x \cdot cot \ x$ |
| $(arcsin \ x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ | $(arccos \ x)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ |
| $(arctan \ x)'=\frac{1}{1+x^2}$ | $(arccot \ x)'=-\frac{1}{1+x^2}$ |
| $(sh \ x)'=ch \ x$ | $(ch \ x)'=sh \ x$ |
| $(th \ x)'=\frac{1}{ch^2x}$ | $(arsh \ x)'=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ |
| $(arch \ x)'=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}},x\in(1,+\infty)$ | $(arth \ x)'=\frac{1}{1-x^2},x\in(-1,1)$ |
秩的性质
| 编号 | 内容 | 条件 |
|---|---|---|
| 1 | $R(PAQ)=R(A)$ | $P,Q$皆为满秩矩阵 |
| 2 | $0\le R(A)\le min\{m,n\}$ | $A$为$m\times n$的矩阵 |
| 3 | $R(A^T)=R(A)$ | |
| 4 | $max \{ R(A),R(B) \} \le R(A,B) \le R(A)+R(B)$ | |
| 5 | $R(A+B)\le R(A)+R(B)$ | |
| 6 | $R(AB)\le min\{R(A),R(B)\}$ |
常系数其次线性微分方程解的结构
| 特征方程 $r^2+pr+q=0$ 的两个根$r_1 , r_2$ | 微分方程 $y''+p y'+q y=0$ 的通解 |
|---|---|
| 两个不相等的实根 $r_1 , r_2$ | $y=C_1 e^{r_1 x}+C_2 e^{r_2 x}$ |
| 两个相等的实根 $r_1 , r_2$ | $y=(C_1+C_2 x)e^{r_1 x}$ |
| 一对共轭复根 $r_{1,2}=\alpha+\beta i$ | $y=e^{\alpha x}(C_1 cos\beta x+C_2 sin\beta x)$ |
